Two-Samples Problemについて

　Distribution-free test といわれる統計的推測理論の一つの型である two-samples problem について exceedence number を利用した検定の方法を論ずる。此の問題に対して rank を使つた Wilcoxen〔1〕，Mann and Whitney〔2〕の test 及び exceedence number による Rosenbaum〔3〕〔4〕，Epstein〔5〕がある。叉 Mood〔6〕は large sample で median test を提唱している。
　今二つの分布函数 F(x), G(x) からの random sample を夫々 x_1, x_2,…, x_n ; y_1, y_2, …, y_m とし帰無仮説 H_0 : F(x) ＝ G(x) を適当な対立仮説に対して上記 Sample に基いて検定するといふ問題で F(x), G(x) の型は未知である。さて x_i の小さい方から大きさの順に並びかえ夫々 r 番目から s 番目を改めて x_r, x_s で表す（r＜sとす）。そして（ x_r, x_s ）に含まれる y の個数を U とするとき，この random variable U が検定基準として採用されるものである。分布函数を連続型と仮定すれば P_r(y_i = x_r) = であるから確率１で x_r, x_s に等しくなる y はないと考えてよい。上の U による検定を便宜上 U-test と名付ける。正整数 r, s (＜ n ) は一般に任意であるが n が余り小さくない時（例えば n＞5 叉は 6）は r = 1, s = n の如き両端をとらないのが妥当と考えられる。殊に寿命試験等の如くSample 全部の検査が終了するまで待たず中途打切をする場合は時間に応じて適宣 r 及び s を定めればよい。普通両端の一つ叉は二つの outlying observations を除いたもの即 r = 2，s = n-1 又は r = 3, s = n-2 等を用ふるのが安全と考えられる。
§2. で U-statistics の確率分布，moment 等 U の性質をしらべ，§3 で U-test の constistency を証明し，§4 で検定方法及び表を与える。