準群G_1,G_2,……G_nがある時，G＝｛(x_1,x_2,……,x_n)｜x_i∈G_i｝に対して積を次の如く定義する。即ち
　　(x_1,x_2,……,x_n)(y_1,y_2,……,y_n)＝（x_1y_1,x_2y_2,……,x_ny_n）
然る時はGは叉準群となる。かかる準群をG1，G2，G3，……,G_nの直積と云う。叉準群Gが群G’とright（left）singular　monoid　I［即ちI∋x，yならば常にxy＝y（xy＝x）なる準群]との直積に同型なる時Gをright（left）γ-groupと云ひ，準群Gがright　singular　monoid，left　singular　monoid，groupの直積と同型な時Gをquasi-γ-groupと云ふ。さて準群Gが次の条件
　　　　　　（I）Gには少なくとも一つ左（右）単位元が存在する。その一つをeとすれば
　　（A_1）；
　　　　　　（II）Gに含まれる任意aに対しaa^<-1>＝e（a^<-1>a＝e）なる右（左）逆元が存在する。
を満足する時，その時に限りGはright（left）γ-groupとなる事は既に二，三の論文中に見られる所であり，叉筆者は先に数学紙上談話に於て，準群Gが
　　　　　（I）Gは少くとも一つmiddle　unitをもち，その一つをeとすれば
　　（A2）；
　　　　　（II）任意のaに対して，eay＝yae＝e，aya＝aを満すyが存在する。
を満足する時，その時に限りGはquasi-γ-groupとなる事を示した。但しeが準群Gのmiddle　unitであるとは，e^2＝eでG∋x,yとする時xey＝xyが成立する様な元である。そこで[*]-operatorをもつ準群[*]-monoidとかregularity，coregularityを満足する準群とかを調べる場合に於て，あらかじめ条件（A_1），（A_2）と[*]-operator，regularity，coregularityとの間の関係が明らかにされているならば，そのtypeを決定する上非常に好都合であると思われる。よつて以下それ等の間の関係について記述してみたいと思う。